阻抗形式 Sturm-Liouville 方程的完备解系统、转化算子与 Darboux 变换

我们present了关于在有限区间上给定阻抗函数 $a\in L^2(I)$ 的 Sturm-Liouville 方程阻抗形式下的完备函数系统构造。该系统称为形式幂，通过对阻抗函数 $a$ 及其倒数进行递归积分生成。我们在以 $a^2$ 为权函数的 $L^p$ 空间中证明了该系统的完备性。在阻抗函数 $a$ 的额外条件下，我们将完备性推广至 Sobolev 空间 $W^{1,p}(I)$，并给出广义 Taylor 公式。我们表明，形式幂的完备性蕴含了与阻抗形式 Sturm-Liouville 方程相关的转化算子关键分析性质，包括连续逆的存在性。最后，我们引入阻抗形式 Darboux 变换方程的表述，并建立原始方程与变换后方程之间的转化算子关系。