Sturm-Liouville 方程解的修正谱参数幂级数表示及其应用

Sturm-Liouville 方程解的谱参数幂级数（SPPS）表示已被证明是求解相应谱问题和散射问题的有效实用工具。它们基于递推积分的计算，有时被称为形式幂。本文提出了形式幂之间的新关系，这些关系极大地改进并扩展了 SPPS 方法的应用。例如，原先 SPPS 方法在第一步要求构造一个对应于谱参数零值的非零（通常为复值）特解。所得关系消除了这一限制。此外，带有“棘手”Sturm-Liouville 系数 $1/p$ 或 $r$ 的方程也可以通过 SPPS 方法求解。我们针对如下形式的 Sturm-Liouville 方程的解发展了 SPPS 表示：$$(p(x)u')'+q(x)u=\sum_{k=1}^N \lambda^k R_k[u], \quad x\in(a,b)$$ 其中 $R_k[u] :=r_k(x)u+s_k(x)u'$，$k=1,\ldots N$，复值函数 $p$、$q$、$r_k$、$s_k$ 在有限区间 $[a,b]$ 上连续。若干数值例子说明了该方法的有效性及其广泛的适用性。