两类一阶线性微分方程组解的谱参数幂级数表示

对含谱参数任意矩阵系数的一维 Dirac 系统给出了谱参数幂级数（SPPS）形式的一般解表示，$$B \frac{dY}{dx} + P(x)Y = \lambda R(x)Y,$$ 其中 $Y=(y_1,y_2)^T$ 为未知向量函数，$\lambda$ 为谱参数，$B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$，$P$ 为对称 $2\times 2$ 矩阵，$R$ 为任意 $2\times 2$ 矩阵，其元素为可积复值函数。这些级数中的系数函数通过从一个非消失的特解（对应某一 $\lambda = \lambda_0$）开始递归迭代简单积分过程得到。我们证明了此类解的存在性。对一般的两类一阶线性微分方程组 $$P(x)\frac{dY}{dx}+Q(x)Y = \lambda R(x)Y,\ x\in [a,b],$$ 其中 $P$、$Q$、$R$ 为 $2\times 2$ 矩阵，其元素为可积复值函数，且 $P$ 对每个 $x$ 可逆，给出了将其化为上述类型的一种变换。提供了 SPPS 表示应用于初值与谱问题求解的总体方案及数值说明。