关于 Dirac 系统相对于谱参数的渐近行为

我们考虑如下常微分方程组（Dirac 系统）：\n$$Y'(x) + \begin{bmatrix} 0 & \sigma_1(x) \ \sigma_2(x) & 0 \end{bmatrix} Y(x) = i\mu \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix} Y(x), \quad Y(x) = \begin{bmatrix} y_1(x) \ y_2(x) \end{bmatrix},$$\n其中 $x \in [0,1]$，$\mu \in \mathbb{C}$ 为谱参数，$\sigma_j \in L^p[0,1]$，$j = 1,2$，且 $p \in [1,2)$。我们研究该系统基本解在 $|\mu| \to \infty$ 时的渐近行为，具体分析范围为平面 $\operatorname{Im} \mu > -r$ 中的情形，其中 $r \geq 0$ 为固定常数，并给出详细的渐近公式。作为应用，我们推导了关于 Sturm–Liouville 方程基本解的半平面渐近行为的新结果，这些方程具有奇异势。