具有分布系数的高阶常微分方程基本解系的渐近公式

本文研究形如 $$\tau(y)- \lambda ^{2m} \varrho(x) y = 0, \quad \tau(y) =\sum_{k,\,s=0}^m(\tau_{k,\,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)},$$ 的微分方程，其中$n=2m\geqslant 2$，$\lambda$为大复参数，正函数$\varrho$与$\tau_{0,0}$属于$W^{1,1}[0,1]$，复值系数$\tau_{k,s}$满足其反导数$\tau_{k,s}^{(-l)}$属于$L_2[0,1]$（其中$l=\min\{k,s\}$）。此处反导数在分布意义下理解。上述方程可化为形如 $$\mathbf y'=\lambda\rho(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,\lambda)\mathbf y$$ 的$n$阶微分方程组，其中$\mathrm B$为常数矩阵，$\mathrm A(x)$与$\mathrm C(x,\lambda)$为可和矩阵。本文的第一个目标是获得关于后一方程基本解矩阵在$\lambda\to\infty$时复平面特定扇形区域内的渐近表示的新结果。第二个目标是应用所得结果来分析具有分布系数的第一个标量方程基本解系的渐近表示。