混合反应项非线性椭圆方程的全局解的分类与对称性

本文我们描述椭圆方程组的所有正分布式 $C^1(\mathbb R^N\setminus \{0\})$-解，其混合反应项形式为 $$\mathbb L_{\rho,\lambda,\tau}[u]:= \Delta u-(N-2+2\rho) \frac{x\cdot \nabla u}{|x|^2} +\lambda \frac{u^\tau |\nabla u|^{1-\tau}}{|x|^{1+\tau}}=|x|^\theta u^q\quad \mbox{in } \mathbb R^N\setminus \{0\},$$ 其中 $\rho,\lambda, \theta\in \mathbb R$ 为任意数，$N\geq 2$，$q>1$ 且 $\tau\in [0,1)$。定义 $\beta=(\theta+2)/(q-1)$ 和 $f_{\rho,\lambda,\tau}(t)=t\left(t+2\rho\right) +\lambda |t|^{1-\tau}$，其中 $t\in \mathbb R$，我们证明该方程在 $f_{\rho,\lambda,\tau}(\beta)>0$ 时才有正解。若满足此条件，我们给出存在性以及所有正解在零点处及无穷处的精确渐近行为。我们得到所有此类解均为径向对称。当 $\theta<-2$ 且 $\rho,\lambda\in \mathbb R$ 时，我们也确定方程在 $\Omega\setminus \{0\}$ 中所有正解的局部行为，其中 $\Omega$ 为包含 $0$ 的开集。通过引入 $\mathbb L_{\rho,\lambda,\tau}[\cdot]$ 中的第二项并取 $\rho\in \mathbb R$，我们通过修改的 Kelvin 变换将问题归结到 $\theta<-2$ 的情况。我们揭示了与 C\^{\i}rstea 和 F\u{a}rca\c{s}eanu(2021) 的工作相比的新现象，其中 $\rho=(2-N)/2$ 且 $\tau=1$。