宇宙学背景上具收敛渐近性的波动方程线性系统

本文研究具有收敛渐近性的宇宙学背景上的波动方程线性系统。收敛条件对应于要求第二基本形式在适当归一化后收敛。模型例子为 Kasner 解。文章的主要结果是最优能量估计。然而，我们也推导了渐近性并证明可以给出主导阶渐近性。有时有人认为，若乘以空间导数的因子指数衰减（对于波动方程系统），则可忽略空间导数。这一推理是不正确的：我们给出满足以下条件的方程例子：1) 乘以空间导数的因子指数衰减，2) 乘以时间导数的因子为常数，3) 解的各傅里叶模态能量渐近指数衰减，以及 4) 一般解的能量在 $t\rightarrow \infty$ 时以 $e^{e^{t}}$ 增长。当乘以空间导数的因子指数增长时，解的傅里叶模态以指数增长的频率振荡。为获得渐近性，我们固定一个模态并考虑在一个周期内的净演化。此外，我们将（一个周期内的）演化替换为矩阵乘法。我们无法计算这些矩阵，但对其近似。为获得渐近性，我们需要计算一个矩阵乘积，其中因子数量无界，且每个因子只能近似。尽管如此，我们仍获得了详细的渐近性。事实上，可以将整体行为（增长/衰减）与（愈发剧烈的）振荡行为分离开来。此外，我们亦能给出主导阶渐近性。