$\mathbb{R}^{2m}$ 全空间中双稳态扩散方程的鞍形解

我们研究了全空间 $\R^{2m}$ 中半线性椭圆方程 $-\Delta u = f(u)$ 的鞍形解的存在性和不稳定性性质，其中 $f$ 为双稳态类型。已知在维数 $2m=2$ 时存在鞍形解。该解在 $\R^2$ 中变号且仅在 $\{|x_1|=|x_2|\}$ 上为零。亦已知该解是不稳定的。本文证明了在所有偶数维中鞍形解的存在性，以及在维数 $2m=4$ 情况下的不稳定性。更确切地说，我们的主要结果确立了若 $2m=4$，任何在 Simons 锥 $\{(x^1,x^2)\in\R^m\times\R^m : |x^1|=|x^2|\}$ 上为零的解在每个紧集之外都是不稳定的，因此具有无限的 Morse 指数。这些结果与近年来被广泛研究的 De Giorgi 猜想相关，该猜想在高维中是否存在反例仍是一个未决问题。