Allen-Cahn 方程鞍点解的稳定性

Yong Liu; Kelei Wang; Juncheng Wei

Allen-Cahn 方程鞍点解的稳定性

偏微分方程分析 2020-01-22 v1 微分几何

作者: Yong Liu , Kelei Wang , Juncheng Wei

摘要

我们关注由 Cabr\'{e} 与 Terra \cite{C,C2} 在 $\mathbb{R}^{2m}% =\mathbb{R}^{m}\times\mathbb{R}^{m}$ 中构造的 Allen-Cahn 方程的鞍点解。这些解恰好在 Simons 锥上为零。鞍点解的存在性与唯一性在 \cite{C,C2,C1} 中已证明。关于稳定性，Schatzman \cite{Sch} 证明了 $m=1$ 时鞍点解不稳定，Cabr\'{e} \cite{C1} 给出了 $m=2,3$ 时的不稳定性以及 $m\geq7$ 时的稳定性。这就留下了 $m=4,5,6$ 的情形尚未解决。本文我们证明了当 $m=4,5,6$ 时鞍点解是稳定的，从而证实了 Cabr\'{e} 在 \cite{C1} 中的猜想。关于 $2m\geq8$ 维鞍点解应为能量泛函全局极小元的猜想仍待解决。

关键词

Allen-Cahn 方程鞍点解稳定性 Simons 锥存在性与唯一性

引用

@article{arxiv.2001.07356,
  title  = {Stability of the saddle solutions for the Allen-Cahn equation},
  author = {Yong Liu and Kelei Wang and Juncheng Wei},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2001.07356},
  year   = {2020}
}

备注

34 pages; pictures are not included; comments welcome

Allen-Cahn 方程鞍点解的稳定性

摘要

关键词

引用

备注

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