若干椭圆问题的稳定解：极小锥、Allen-Cahn方程与爆破解
偏微分方程分析
2018-07-12 v2
摘要
这些笔记记录了第一作者于2017年6月19日至23日在切特拉罗举办的CIME暑期课程的讲义。笔记包含了若干关于某些非线性椭圆方程稳定解分类结果的证明。这些结果是此类问题极小元正则性理论中的关键步骤。我们聚焦于三个不同的方程，强调三种情形下的技术与思想颇为相似。第一个主题是极小锥的稳定性。我们证明了Simons锥在高维中的极小性，并几乎给出J. Simons关于低维稳定极小锥平坦性证明的全部细节。其半线性类比是由E. De Giorgi于1978年提出的关于Allen-Cahn方程的猜想。这是我们的第二个问题，我们讨论了一些结果，以及高维中关于在Simons锥上消失的鞍形解的一个开放问题。第三个问题由H. Brezis约于1996年提出，关注有界域上反应扩散方程稳定解的有界性。我们给出其低维正则性的证明并讨论该主题的主要开放问题。此外，我们简要评述了调和映射、自由边界问题与非局部极小曲面的相关结果。
引用
@article{arxiv.1802.01992,
title = {Stable solutions to some elliptic problems: minimal cones, the Allen-Cahn equation, and blow-up solutions},
author = {Xavier Cabre and Giorgio Poggesi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1802.01992},
year = {2018}
}
备注
To appear in Lecture Notes in Mathematics, CIME Foundation Subseries, Springer. Formulas (16) and (17) have been corrected