Allen-Cahn方程鞍形解的唯一性与稳定性

我们建立了在$\mathbb{R}^{2m}$中双稳态型扩散方程$-\Delta u = f(u)$的鞍形解的唯一性，其中$2m \geq 2$为任意偶数维。此外，我们证明了当$2m \geq 14$时该解的稳定性。鞍形解关于Simons锥${\mathcal C} = \{(x^1,x^2) \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m : |x^1|=|x^2| \}$是奇函数，且存在于所有偶数维中。其唯一性仅在$2m=2$时已知。另一方面，已知其在2、4、6维中不稳定。在8、10、12维中的稳定性仍是开放问题。此外，由于Simons锥在$2m \geq 8$时极小化面积，鞍形解在$2m \geq 8$或至少在更高维中被预期为全局极小元。这是一个强于稳定性的性质，尚未在任何维数中得到证明。