半线性积分微分方程（二）：Allen-Cahn 方程的一维与鞍形解

本文研究 $\mathbb{R}^{2m}$ 中半线性方程 $L_K u = f(u)$ 的鞍形解，其中 $L_K$ 为具有径向对称核 $K$ 的线性椭圆积分微分算子，且 $f$ 为 Allen-Cahn 型。鞍形解是双径向的，关于 Simons 锥 $\{(x', x'') \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \, : \, |x'| = |x''|\}$ 为奇，且仅在此集合上为零。我们确立了鞍形解的唯一性与渐近行为。为此，我们证明了一个 Liouville 型结果、半线性问题在半空间中正解的一维对称性，以及“狭窄”集合中的最大值原理。该解的存在性已在本工作第一部分中证明。