半线性积分微分方程 I：关于 Simons 锥的奇解

这是关于 $\mathbb{R}^{2m}$ 中半线性方程 $L_K u = f(u)$ 鞍形解的两篇论文中的第一篇，其中 $L_K$ 是线性椭圆积分微分算子，$f$ 为 Allen-Cahn 型。鞍形解是双径向的，关于 Simons 锥 $\{(x', x'') \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m \, : \, |x'| = |x''|\}$ 为奇的，且仅在该集合上为零。由奇对称性，$L_K$ 与一个新算子 $L_K^{\mathcal{O}}$ 一致，该算子作用于仅定义在 Simons 锥一侧 $\{|x'|>|x''|\}$ 上且在该集合上为零的函数。此算子 $L_K^{\mathcal{O}}$ 对应于将函数奇反射然后施加 $L_K$，其在 $\{|x'|>|x''|\}$ 上的核不同于 $K$。在第一篇论文中，我们刻画了使新核为正从而可以发展鞍形解理论的核 $K$。其充分必要条件是 $K$ 为径向对称且 $\tau\mapsto K(\sqrt \tau)$ 为严格凸函数。在此假设下，我们证明了双径向奇极小元的能量估计以及鞍形解的存在性。在后续文章（第二部分）中，将建立鞍形解的进一步定性性质，例如其渐近行为、线性化算子的极大值原理及其唯一性。