分数阶 Allen-Cahn 方程稳定解的一些能量估计

本文研究分数阶方程 \begin{align} (-\Delta)^s u =f(u), \quad |u| < 1 \quad \mbox{in $\mathbb{R}^d$}, \end{align} 的稳定解，其中 $0<s<1$ 且 $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 是 $\alpha>\max\{0, 1-2s\}$ 的 $C^{1,\alpha}$ 函数。我们对 $0<s<1/2$ 获得了尖锐能量估计，对 $1/2 \le s <1$ 获得了粗略能量估计。这给出了与文献中不同的证明：当 $d=2, \, 0<s<1$ 时，整体稳定解是 $1$ 维解。本文所用的纲领受处理稳定非局部集合的 Cinti-Serra-Valdinoci[CSV17] 以及研究 $s=1/2$ 情形稳定解的 Figalli-Serra[FS17] 启发。