Galerkin截断Burgers方程和Euler方程的共振现象

研究表明，抑制所有波数超过阈值K_G的空间傅里叶模式的无粘流体动力学方程的解表现出意想不到的特征。该研究针对一维Burgers方程和二维不可压缩Euler方程进行。对于大的K_G和光滑初始条件，截断的第一个症状是一种局部的短波长振荡，我们称之为“tyger”，它是由流体粒子运动与由小尺度特征（激波、强涡度梯度层等）产生的截断波之间的共振相互作用引起的。当复空间奇点进入距离实域一个Galerkin波长λ_g=2π/K_G以内时，tyger出现，并且它们出现在远离预先存在的小尺度结构的位置，其速度与该结构的速度相匹配。Tyger最初是微弱且高度局域的——在Burgers情形中，在第一个激波出现时，其振幅和宽度分别正比于K_G^{-2/3}和K_G^{-1/3}——但随后增长并最终侵入整个流场。因此，它们是T.D. Lee在1952年预测的热化现象的最初表现。突然的耗散反常——在有限时间t_*后，粘性趋于零的极限下存在有限耗散——对于Burgers方程是众所周知的，有时对于三维Euler方程也有此猜想，其在截断情形中的对应物是tyger在K_G→∞的极限下储存有限能量的能力。这导致在大于Galerkin波长的尺度上产生雷诺应力，并阻止流场收敛到无粘极限解。有迹象表明，最终可能可以清除tyger，从而恢复正确的无粘极限行为。