解构自相似能量传递动力学：1D Burgers 系统案例研究

本文考察了如何构建初始条件，使得流动演化导致符合科尔米洛夫湍流统计理论的自相似能量级联。首先，我们聚焦于作为玩具模型的一维粘性 Burgers 方程。通过将问题表述为 PDE 约束优化，我们发现 exhibiting 自相似行为的解。主要物理参数包括：寻找自相似行为的时间窗口（约等于一个湍流涡旋时间）、粘性系数（与“雷诺数”成反比）以及描述自相似相互作用发生在傅里叶空间中距离的整数参数。我们采用基于 adjoint 方法的梯度方法求解这些非凸 PDE 优化问题的局部解。识别出两种不同的解的家族，称为粘性解和惯性解，主要区别在于涡旋能的行为，前者均匀衰减，后者增长。仅在粘性系数充分小的情况下，才找到具有物理意义且恰当自相似的惯性解。这些流通过统一地加剧解中存在的波前陡峭度来实现自相似行为。所得结果表明，所提出的方法可用于在更复杂的流模型中寻找自相似行为，包括壳模型、二维湍流以及最终的三维湍流。