广义 Burgers 方程中的衰减湍流

我们考虑广义 Burgers 方程 $$\frac{\partial u}{\partial t} + f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\ t \geq 0,\ x \in S^1,$$ 其中 $f$ 是强凸函数，$\nu$ 是小正数。我们获得了 $u$ 的 Sobolev 范数的尖锐估计（上下界仅相差一个乘法常数）。随后，我们获得了表征衰减 Burgers 湍流的小尺度量的尖锐估计，即耗散长度尺度、结构函数和能谱。证明使用了 Aurell, Frisch, Lutsko 和 Vergassola \cite{AFLV92} 论证的定量版本。请注意，我们处理的是\textit{衰减}湍流，而非定常湍流。因此，我们的估计在时间上不是均匀的。然而，它们在时间区间 $[T_1, T_2]$ 上成立，其中 $T_1$ 和 $T_2$ 仅取决于 $f$ 和初始条件，而与粘度无关。这些结果以 Kolmogorov 1941 年理论的精神，对一维 Burgers 湍流给出了严格的解释。特别是，我们获得了两个在惯性区内成立的结果。一方面，我们解释了增量矩（即结构函数）的分形行为。另一方面，我们获得了形式为 $k^{-2}$ 的能谱。这些结果在无粘极限下仍然有效。