白噪声驱动广义 Burgers 方程中湍流的尖锐估计

我们考虑非齐次广义 Burgers 方程 $\frac{\partial u}{\partial t} + f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \eta,\ t \geq 0,\ x \in S^1$。其中 $f$ 是强凸函数并满足增长条件，$\nu$ 为小正数，而 $\eta$ 是一个随机强迫项，在空间上光滑且在时间上为白噪声。对于该方程的任意解 $u$，我们考虑对应于 $t \geq T_1$ 的准稳态区域，其中 $T_1$ 仅取决于 $f$ 和 $\eta$ 的分布。我们获得了 $u$ 的 Sobolev 范数在时间和系综平均下的尖锐上下界。这些结果为表征流体动力学湍流的自然类比量提供了尖锐的上下界。我们所有的界都不依赖于初始条件，且在 $t \geq T_1$ 时不依赖于 $t$，并在 $\nu$ 上一致成立。Aurell、Frisch、Lutsko 和 Vergassola 曾在物理严谨性层面上获得过与我们部分结果类似的估计；我们使用了他们文章中的一个论证。