广义 Burgers 方程的湍流

在本综述中，我们回顾了 A. Biryuk 和作者在\cite{Bir01,BorK,BorW,BorD}中获得的关于圆周上广义 Burgers 方程 $u_t+f'(u)u_x=\nu u_{xx}+\eta,\ x \in S^1=\R/\Z$ 的湍流结果。此处 $f$ 是光滑且强凸的，而常数 $0<\nu << 1$ 对应于粘性系数。我们将考虑 $\eta=0$ 的情况以及 $\eta$ 是在 $x$ 上光滑但在 $t$ 上不规则（脉冲或白噪声）的随机力的情况。在这两种情况下，都获得了关于 $u$ 的 Sobolev 范数在时间和系综平均下的尖锐界，形式为 $C \nu^{-\delta}, \delta\ge0$，且上下界具有相同的 $\delta$ 值。这些结果为表征湍流的小尺度量提供了尖锐界，证实了物理预测\cite{BK07}。