具有奇异快扩散和边界效应的 Burgers 方程激波剖面的收敛性

本文研究半空间 $(0,+\infty)$ 上 Burgers 方程 $u_t +f(u)_x = (\frac{u_{x}}{u^{1-m}})_x$ 的粘性激波剖面的渐近稳定性，其边界条件为 $u|_{x=0}=u_->0$ 和 $u|_{x=+\infty}=0$。参数 $\frac{1}{2}<m<1$ 衡量快扩散的强度。一个关键挑战源于扩散项 $\left(\frac{u_x}{u^{1-m}} \right)_x$ 在 $u=0$ 处的显著奇异性以及边界层。我们证明 $u$ 的长时间行为收敛于一个平移后的激波剖面 $U(x-st-d(t))$，其中 $d(t)$ 由 $x=0$ 处的边界层动力学控制，并受初始数据 $u(x,0)$ 驱动。为克服快扩散的奇异性以及边界层对波稳定性的不良影响，我们巧妙地引入了一些新的加权能量估计技术。