带快速扩散和奇点的 Burgers 方程粘性冲击波

本文我们研究了带有快速扩散的 Burgers 方程粘性冲击波的渐近稳定性 $u_t+f(u)_x=\mu (u^m)_{xx}$ 在 $\mathbb{R} \times (0, +\infty)$ 上，当 $0<m<1$ 时。对于 proposed 的常数状态 $u_->u_+=0$，带有快速扩散的方程 $(u^m)_{xx}=m\left(\frac{u_x}{u^{1-m}}\right)_x$ 在 $u_+=0$ 处处理一个 strong singularity，这导致稳定性研究具有挑战性。我们注意到，存在两种不同的粘性冲击波类型，其中一种是满足 Lax 熵条件的 non-degenerate 冲击波，对趋向奇异状态 $u_+=0$ 的 fast algebraic decay，这导致系统以 $m\left(\frac{u_x}{u^{1-m}}\right)_x$ 形式的更强奇点，另一种是对 $u_+=0$ 的 slow algebraic decay 的 degenerate 粘性冲击波，这对系统的奇点较小。为了克服 $u_+=0$ 处的奇点，我们在技术上使用加权能量方法并发展出一种新策略，其中与冲击波相关的权重被仔细选择，而 non-degenerate 情况下的所选权重比 degenerate 情况下的权重更强。我们还在不同情况下进行数值模拟，以说明和验证我们的理论结果。特别是，我们对不同值 $0<m<1$ 的解进行数值近似，发现当奇点 $\left(\frac{u_x}{u^{1-m}}\right)_x$ 更强时，即 $m\rightarrow 0$ 时，冲击波的形状变得更陡峭，这表明 singular fast diffusion 对解的影响是 essential 的。