Burgers 方程粒子系统中重置的正则化效应

我们研究了 Burgers 方程随机粒子系统的耗散机制。粘性 Burgers 方程和 Navier-Stokes 方程的速度场可以表示为基于噪声粒子轨迹的随机过程的期望值 [Constantin and Iyer Comm. Pure Appl. Math. 3 (2008) 330-345]。在本文中，我们使用上述过程的 Monte-Carlo 版本研究了粘性 Burgers 方程的粒子系统；我们考虑上述随机流的 N 个副本，每个副本由独立的 Wiener 过程驱动，并用这些副本之和的 $\frac{1}{N}$ 倍代替期望值。Navier-Stokes 方程的类似构造已由 Mattingly 和本文的第一作者研究过 [Iyer and Mattingly Nonlinearity 21 (2008) 2537-2553]。令人惊讶的是，对于任何有限的 N，Burgers 方程的粒子系统几乎必然在有限时间内发生激波。与完全期望值相比，经验均值 $\frac{1}{N}\sum_1^N$ 对系统的正则化程度不足以确保全局时间解。为了避免这些激波，我们考虑了一种重置过程，乍看之下它应该根本没有任何正则化效应。然而，我们证明了该过程能阻止任何 $N\geq2$ 情况下激波的形成，因此当 $N\to\infty$ 时，我们在长时间区间上获得了对粘性 Burgers 方程解的收敛性。