关于 Burgers 湍流的衰减

本文研究一维无外力 Burgers 方程在粘性趋于零极限下随机解的衰减。初始速度场是齐次高斯场，其谱在小波数 $k$ 处正比于 $k^n$，在大波数处快速衰减。在物理空间中，足够大距离处存在一个“外区”，当 $n$ 不为偶整数时，速度关联函数精确保持其初始形式（幂律）。当 $1<n<2$ 时，长时间谱具有三个标度区：第一，在极小 $k$ 处的 $|k|^n$ 区，其常数不随时间变化，源自这一外区，其中初始条件基本被冻结；第二，在中间波数处的 $k^2$ 区，对应于物理空间中自相似演化的“内区”；最后，通常的 $k^{-2}$ 区，与激波相关。从 $|k|^n$ 到 $k^2$ 的切换发生在波数 $k_s(t) \propto t^{-1/[2(2-n)]}$ 附近，而从 $k^2$ 到 $k^{-2}$ 的切换发生在 $k_L(t)\propto t^{-1/2}$ 附近（两种情形均忽略对数修正）。推导结果的关键要素是将 Kida (1979) 对 $n=2$ 时能量衰减的带对数修正的 $1/t$ 律推广到任意整数或非整数 $n>1$ 的情形。给出了系统的推导，可获得首项及高阶修正的估计。给出了支持我们结论的高分辨率数值模拟。