某些分数阶拉普拉斯方程奇点的可去性与超调和性

我们研究 $$(-\Delta)^\gamma u=fu^p\quad\text{in }\mathbb R^n\setminus\Sigma$$ 在 $\Sigma$ 处奇异的非负解的若干定性性质（包括可去奇点与超调和性）。此处 $\gamma \in (0, \frac{n}{2})$。其中，我们首先证明：若 $\Sigma$ 是 $\mathbb R^n$ 中 Assouad 维数为 $\bf d$（不必为整数）的紧集，满足 ${\bf d}<n-2\gamma$，且 $u\in L_\gamma(\mathbb R^n)\cap L^p_{loc}({\mathbb R^n\setminus\Sigma})$ 是某个 $$p>\frac{n-\bf d}{n-{\bf d}-2\gamma}$$ 的非负解，则 $u\in L^p_{loc}(\mathbb R^n)$ 且 $u$ 是 $\mathbb R^n$ 中的分布解。随后我们证明：若 $\Sigma=\phi$，则对所有 $\sigma \in (0, \gamma)$ 有 $(-\Delta)^\sigma u >0$。