任意维数下超冷 Stefan 问题自由边界的光滑性

我们研究了超冷 Stefan 问题中的自由边界，该问题是水在其冰点以下结冰的经典模型。与熔化问题不同，物理实验和启发表明，水-冰界面在超冷问题中可能呈现分形冻结集合、冻结前沿的瞬时速度传播以及核素化（即冰的自发出现）。尽管如此，我们证明了自由边界具有鲁棒结构。我们将自由边界分为三个部分：（1）以有限速度前进的时间上的规则部分；（2）由前沿在瞬时速度或核素化点组成的奇异部分，但其受控的时空（即 $\leq d-1$ 准抛物线）维数；（3）跳跃分量，可在时间切片中具有较大维数，但被包含在时空光滑图中，仅在零维时间集合中出现。实例表明，这些部分每个都可能非空。进一步地，我们证明了自由边界是冻结时间 $s$ 的图 $t=s(x)$ 的光滑可微函数，奇异集合恰为 $s$ 的临界集合，证明了超冷结冰中的奇点始终以瞬时速度发生。这些结果为任意维数下的超冷 Stefan 问题提供了首个自由边界光滑性理论。