一维单纯复形的 Stanley-Reisner 理想之幂的正则性

设 $\Delta$ 为一维单纯复形。令 $I_\Delta$ 为 $\Delta$ 的 Stanley-Reisner 理想。我们证明对所有 $s \ge 1$ 以及所有由 $I_\Delta^s$ 与 $I_\Delta^{(s)}$ 的某些极小生成元生成的中间理想 $J$，均有 $${\rm reg} J = {\rm reg} I_\Delta^s = {\rm reg} I_\Delta^{(s)}.$$