用于 $\operatorname{PSL}(n, \mathbb{R})$ Hitchin 分量的秩 $n$ 交换代数

F. Labourie [arXiv:1212.5015] 利用交换代数刻画了任意 $n>1$ 的 $\operatorname{PSL}(n, \mathbb{R})$ 的 Hitchin 分量，其中交换代数应理解为配备泊松括号的环。我们引入了秩 $n$ 交换代数，它是交换代数模去 $(n+1)\times(n+1)$ 行列式关系后的商。主要结果是秩 $n$ 交换代数及其分式代数中“交比”的良定性。作为推论，我们利用由这些“交比”生成的秩 $n$ 交换代数的子分式代数，刻画了固定 $n>1$ 时的 $\operatorname{PSL}(n, \mathbb{R})$ Hitchin 分量。我们还展示了秩 $2$ 交换代数与簇 $\mathcal{X}_{\operatorname{PGL}(2,\mathbb{R}),D_k}$-空间之间的关系。