量子 Yang-Mills 场的正质量隙

我们在一个 Hilbert 空间上构造了一个依赖于紧 Lie 群的简单 Lie 代数的 4 维量子场论，其满足 Wightman 公理。该 Hilbert 空间可写为可数个不可分 Hilbert 空间之和，每个由 Lie 代数的一个非平凡、不等价不可约表示索引。在每个分量 Hilbert 空间中，一个态由三元组给出：\mathbb{R}^4 中的一个类空间矩形曲面 $S$、该曲面 $S$ 上 Lie 代数丛的一个可测截面（不可约地表示为矩阵），以及一个 Minkowski 标架。内积与该曲面 $S$ 的面积相关联。在我们先前的工作中，我们为紧半单规范群构造了 Yang-Mills 测度。我们将使用 Yang-Mills 路径积分来量化该理论中的动量与能量。在量化过程中，将使用重整化技术与渐近自由。每个分量 Hilbert 空间是动量算符与 Hamiltonian 的本征空间，相应的 Hamiltonian 本征值由二次 Casimir 算符给出。相应动量算符的本征值将被证明严格小于 Hamiltonian 的本征值，从而表明每个分量 Hilbert 空间中存在正质量隙。我们将进一步证明，包含正质量隙（每个由不可约表示索引）的集合的下确界严格为正。在最后一节，我们将展示正质量隙如何蕴含聚类定理。