平板定理、高斯概率估计与 Rump 的 100 欧元猜想

我们通过从 [Invent. Math. ☋104 (1991)] 中的 Ball 的平板定理推导出加权仿射逃逸定理，证明了 Rump 的 100 欧元猜想。更准确地说，设 $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$，且 $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$。对于每一个 $1\le p\le \infty$，我们获得一个由 $A$ 的行 $\ell_q$ 范数控制的 $\ell_p$-逃逸原理。其立方体情形表明，当 $|A|e=ne$（其中 $e$ 为全 1 向量）时，存在一个满足 $\|x\|_{\infty}\le 1$ 且 $|Ax|\ge e\ge |x|$ 的非零向量 $x$，从而解决了该猜想。作为推论，我们证明了全局比较 $\rho_0(|A|)\le n\,\rho_{\mathbb{K}}(A)$，其中 $\rho_{\mathbb{K}}$ 表示符号实或复谱半径。这是 Rump 的 Perron--Frobenius 型估计的锋利形式，去除了因子 $3+2\sqrt{2}$。此外，我们的 $\ell_\infty$-逃逸原理尖锐地改进了 Rump 在 [SIAM Rev. ☋41 (1999)] 中关于矩阵条目到奇异性距离与其条目级 Bauer--Skeel 条件数之间关系的论述。最后，我们也研究较弱的欧几里得行条件，包括尖锐的定量界限以及可能加强措施的反例。特别是，我们使用高斯概率估计来建立 B"unger 猜想的复数类比。