不可压缩向量场中的快速逃逸

被流向岸外的离岸流困住的游泳者，建议垂直于水流方向游动以逃离。我们描述了类似精神下的数学原理。更确切地说，我们考虑由不可压缩向量场 $\textbf{v}:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 满足 $c_1 < \|v\| < c_2$ 所诱导的平面流 $\gamma$。流曲线 $\dot \gamma(t) = \textbf{v}(\gamma(t))$ 在 $\gamma$ 离开以初始位置为中心、半径为1的圆盘之前的弧长 $\ell$ 可长达 $\ell \sim c_2/c_1$。对于正交流 $\textbf{v}^{\perp} = (-\textbf{v}_2, \textbf{v}_1)$ 同样成立。我们证明一种组合严格更优：总存在一条先沿 $\textbf{v}^{\perp}$ 再沿 $\textbf{v}$ 流动的曲线，其在达到长度 $\sqrt{4\pi c_2 / c_1}$ 之前逃出单位圆盘。此外，若 $\textbf{v}$ 的逃逸长度一致地为 $\sim c_2/c_1$，则 $\textbf{v}^{\perp}$ 的逃逸长度一致地为 $\sim 1$（从而允许从流中快速逃逸）。我们还证明了一个似乎是新的初等定量 Poincar\'{e}-Bendixson 定理。