Hermite 半群的相空间分析及其在非线性整体适定性中的应用

我们在 $\mathbb{R}^d$ 中研究 Hermite 算子 $H=-\Delta+|x|^2$ 及其分数幂 $H^\beta$（$\beta>0$）在相空间中的性质。即，我们通过所谓的短时傅里叶（亦称 Fourier-Wigner 或 Bargmann）变换 $V_g f$（$g$ 为固定窗函数）表示函数 $f$，并通过 $V_g f$ 在相空间中的混合 Lebesgue 范数，亦即属于调制空间 $M^{p,q}$（$0< p,q\leq \infty$）来度量其正则性与衰减。我们证明了半群 $e^{-tH^\beta}$ 作用于 $M^{p,q}$ 上的完整固定时间估计范围（对任意 $0< p,q\leq \infty$），给出了最优的整体时间衰减以及相空间光滑化。作为应用，我们建立了具有幂型非线性（聚焦或散焦）的 $H^{\beta}$ 非线性热方程在调制空间或 Wiener amalgam 空间中以小初值的整体适定性。我们证明该整体解呈现出与相应线性方程解相同的最优衰减 $e^{-c t}$，其中 $c=d^\beta$ 是 $H^\beta$ 谱的下确界。这与无势的非线性聚焦热方程形成鲜明对比，后者对于（即便是小的）常数初值总会发生有限时间爆破——因而在 $M^{\infty,1}$ 中。