与 Hermite 算子关联的变指标 Triebel-Lizorkin 空间的分子特征及其应用

本文引入与 Hermite 算子 $H:=-\Delta+|x|^2$ 关联的非齐次变指标 Triebel-Lizorkin 空间 $F_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),H}(\mathbb R^n)$，其中 $\Delta$ 是 $\mathbb R^n$ 上的 Laplace 算子，并主要建立该空间的分子特征。作为应用，我们得到分数阶 Hermite 方程 $$(-\Delta+|x|^2)^\sigma u=f,\quad (-\Delta+|x|^2+I)^\sigma u=f$$ 的一些正则性结果，以及与该算子 $H$ 关联的谱乘子在变指标 Triebel-Lizorkin 空间 $F_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),H}(\mathbb R^n)$ 上的有界性。此外，我们通过原子分解阐释了 $F_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),H}(\mathbb R^n)$ 与变指标 Triebel-Lizorkin 空间 $F_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot)}(\mathbb R^n)$（由 Diening 等人在 J. Funct. Anal. 256(2009), 1731-1768 中引入）之间的关系。