无穷多粒子的 Hartree 方程 I：适定性理论

我们证明了 Hartree 方程 $$i\partial_t\gamma=[-\Delta+w*\rho_\gamma,\gamma],$$ 的局部和全局适定性结果，其中 $\gamma$ 是 $L^2(\R^d)$ 上的有界自伴算子，$\rho_\gamma(x)=\gamma(x,x)$，且 $w$ 是光滑短程相互作用势。初始数据 $\gamma(0)$ 假设为平移不变态 $\gamma_f=f(-\Delta)$ 的扰动，该态描述了具有无穷多粒子的量子系统，例如零温下的费米海，或正温下的费米 - 狄拉克气体和玻色 - 爱因斯坦气体。全局适定性源于态 $\gamma(t)$ 相对于稳态 $\gamma_f$ 的相对（自由）能量守恒。事实上，我们使用了一种广义的相对熵概念，这使得能够处理各类广泛的稳态 $f(-\Delta)$。我们的结果基于正密度下的 Lieb-Thirring 不等式以及针对正交函数的近期 Strichartz 不等式，这两者均归功于 Frank、Lieb、Seiringer 以及本文的第一作者。