带点相互作用的二维 Hartree 方程的驻波与全局适定性
偏微分方程分析
2022-04-12 v1 数学物理
math.MP
摘要
我们研究了一类具有点状奇异扰动和 Hartree 非线性的二维非线性薛定谔方程。自由拉普拉斯算子的点状奇异扰动诱导出适当的扰动 Sobolev 空间，这些空间是研究基态和演化流所必需的。我们的处理同时包含了质量次临界和质量临界的 Hartree 非线性。我们的分析有两方面：我们建立了基态的存在性、对称性和正则性，并证明了相关柯西问题在奇异扰动能量空间中的适定性。第一个目标，与和本工作并行出现的其他处理不同，是通过对修正 Weinstein 泛函的 Schwartz 对称化标准性质进行非平凡适配而实现的。这尤其给出了修正的 Gagliardo-Nirenberg 型不等式，使得能够有效控制非线性并通过能量方法获得适定性。在散焦情形以及聚焦且质量次临界情形中，演化流被证明是全局时间存在的。在聚焦且质量临界情形中，对于按最佳 Gagliardo-Nirenberg 常数而言适当小的初值，它也是全局时间存在的。
引用
@article{arxiv.2204.05053,
title = {Standing waves and global well-posedness for the 2d Hartree equation with a point interaction},
author = {Vladimir Georgiev and Alessandro Michelangeli and Raffaele Scandone},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.05053},
year = {2022}
}