与 Sierpinski 垫片上 Dirichlet 形式相关的抛物型方程

利用 Dirichlet 形式的解析工具，我们发起了对 Sierpinski 垫片上若干非线性抛物型方程的研究，其动机源于沿分形（可被视为简化的粗糙多孔介质）的流体流动建模。与正则空间情形不同，此类涉及对流项的方程必须采取相当不同的形式，且对流项相对于由热半群确定的“线性部分”必须是奇异的。为了研究这些抛物型方程，我们将建立 Sierpinski 垫片上 Dirichlet 形式的一类新的 Sobolev 不等式，作为我们研究的有效工具。这些 Sobolev 不等式本身颇具意义，且与欧氏空间情形不同，它们涉及关于两个相互奇异测度的两个 $L^p$ 范数。通过考察相关热半群的奇异卷的性质，我们在少数技术条件下导出了抛物型方程解的时空正则性。我们还研究了 Sierpinski 垫片上的 Burgers 方程，利用倒向随机微分方程的技巧导出了其解的最大值原理，并获得了解的存在性、唯一性以及正则性。