Dirichlet空间上的Gagliardo-Nirenberg、Trudinger-Moser与Morrey不等式

着眼于黎曼或次黎曼流形、RCD 度量空间尤其是分形，本文在 Dirichlet 空间的一般框架下，基于热半群发展的 $(1,p)$ Sobolev 空间理论又向前推进了一步。在多种设置中均可验证的适当假设下，D. Bakry、T. Coulhon、M. Ledoux 和 L. Saloff-Coste 在论文“Sobolev inequalities in disguise”中发展的工具使我们获得了具有最优指数的整个 Gagliardo-Nirenberg 和 Trudinger-Moser 不等式族。后者不仅依赖于空间的 Hausdorff 维数和游走维数，还依赖于其他不变量。此外，我们证明了 Morrey 型不等式，并将其应用于研究保证 Sobolev 函数连续性所需指数的下确界。结果以 Vicsek 集用于分形为例加以说明，同时对嵌套分形和 Sierpinski 地毯提出了若干猜想。