关于线性微分与线性差分方程的线性无关快速解个数

假设 $A_0,\ldots,A_{n-1}$ 为整函数，且 $p\in \{0,\ldots,n-1\}$ 是使得 $A_p$ 为超越函数的最小指标，则由 Frei 的经典定理可知，微分方程 $f^{(n)}+A_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots +A_{1}f'+A_{0}f=0$ 的每一解基至少包含 $n-p$ 个无穷阶整函数。此处，超越系数 $A_p$ 主导多项式系数 $A_{p+1},\ldots,A_{n-1}$ 的增长。通过以不同方式表达 $A_p$ 的主导性，并允许系数 $A_{p+1},\ldots,A_{n-1}$ 为超越函数，我们证明了 Frei 定理的结论仍然成立，并附加了对解增长的渐近下界的估计。这些新的精细化结果有时给出比 Frei 原定理更多的线性无关无穷阶解。对此类解，我们证明 $0$ 是唯一的 possible 有限亏值。此前该性质仅对所谓的可容许解已知成立，并常被引为 Wittich 定理。我们亦讨论了单位圆盘上线性微分方程，以及复差分与复 $q$-差分方程的类似结果。