无无界 Fatou 分量的小增长函数

我们证明了 $\cos \pi \rho$ 定理的一种形式，该定理为零级超越整函数的最小模提供了强估计。我们还证明了 Hinkkanen 结果的一个推广，给出了超越整函数没有无界 Fatou 分量的充分条件。这两个结果使我们能够表明存在一大类没有无界 Fatou 分量的零级整函数。另一方面，我们给出的例子表明，实际上存在一些零级函数，它们不仅不满足 Hinkkanen 条件，也不满足我们更一般的条件。我们还给出了一个新的正则性条件，该条件足以确保阶数小于 1/2 的超越整函数没有无界 Fatou 分量。最后，我们指出，这里给出的所有保证超越整函数没有无界 Fatou 分量的条件，也都保证了逃逸集是连通的，从而回答了 Eremenko 关于此类函数提出的问题。