Eremenko猜想、游荡的Wada湖与特立独行点

我们发展了一种通用技术，将复平面的全闭子集实现为整函数的游荡集。利用这一构造，我们解决了许多开放问题。(1) 我们构造了Eremenko猜想的一个反例，这是超越动力系统中的一个核心问题，该猜想询问超越整函数的逃逸点集的每个连通分支是否都是无界的。(2) 我们证明存在一个超越整函数，其无穷多个Fatou分支共享相同的边界。这解决了“Wada湖连续统”能否在复动力系统中出现的长期问题，并回答了Fatou在1920年提出的关于有理函数Fatou分支的一个类似问题。(3) 我们回答了Rippon关于有界逃逸游荡域边界上非逃逸点存在性的问题，即包含在逃逸集中的一个游荡Fatou分支。事实上，我们证明了此类点的集合可以具有正的Lebesgue测度。(4) 我们给出了第一个例子，一个具有单连通Fatou分支的整函数，其闭包的补集是不连通的，回答了Boc Thaler的一个问题。鉴于(3)，我们引入了“特立独行点”的概念：游荡域边界上的点，其累积行为不同于内部点。我们证明了此类点的集合具有零调和测度，但它仍然可以相当大。例如，它可以具有正的平面Lebesgue测度。