Walker 流形的 Lie 流结构

我们研究 Walker 流形,即 admits 一个 null parallel 分布 $\D$ 的 pseudo-Riemannian 流形 $(M^n,g)$,其中秩 $r\leq\frac{n}{2}$. 我们证明 $\D$ 总是积分到一个 $G$-Lie 流 $\F_\D$,其中 $G$ 是其结构代数 $\g_\D$ 的 simply connected Lie 群. $(M,g)$ 的横向 holonomy 群等于 $h:\pi_1(M)\to G$ 的像. 我们证明 $\mathrm{Ric}(X,\cdot)=0$ 对所有 $X\in\Gamma(\D)$ 成立,并指出在维数 3 中模型群总是 $\R$,而在维数 4 且秩为 2 时结构代数总是可交换的. 局部分类区分了可交换、nilpotent 和 solvable 情形,而刚性定理表明维数 4 的 minimal nilpotent Walker 流不能变形为 non-nilpotent solvable 一个.