关于生成函数 n 次根的整系数性
摘要
受 E_8 格的 theta 级数的 8 次根与 Leech 格的 theta 级数的 24 次根均具有整数系数的发现启发，我们研究任意元素 f ∈ R（其中 R = 1 + xℤ[[x]]）何时可写为 f = g^n（g ∈ R，n ≥ 2）。令 P_n := {g^n : g ∈ R} 且令 μ_n := n ∏_{p|n} p。我们除其他外证明：(i) 对 f ∈ R，f ∈ P_n ⇔ f mod μ_n ∈ P_n；(ii) 若 f ∈ P_n，存在唯一的 g ∈ P_n 其系数模 μ_n/n 使得 f ≡ g^n (mod μ_n)。特别地，若 f ≡ 1 (mod μ_n) 则 f ∈ P_n。后一断言蕴含任意 R^n 中极偶单模格（例如 R^8 中的 E_8）的 theta 级数在 n 形如 2^i 3^j 5^k（i ≥ 3）时属于 P_n。对于码似乎没有精确类比，尽管我们证明长度为 2^m 的第 r 阶 Reed-Muller 码的重量枚举子属于 P_{2^r}。我们给出若干其他结果与猜想，并建立 Paul D. Hanna 的一个猜想：存在唯一的 f ∈ P_n（n ≠ 2）其系数限制于集合 {1, 2, ..., n}。
引用
@article{arxiv.math/0509316,
title = {On the Integrality of n-th Roots of Generating Functions},
author = {Nadia Heninger and E. M. Rains and N. J. A. Sloane},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0509316},
year = {2014}
}
备注
14 pages. V2: Sep 16 2005: typos corrected, added remarks, added new theorem (Theorem 6), modified a conjecture. V3: Sep 30 2005: Added theorem about theta series of Barnes-Wall lattices. V4: Apr 8 2006: Better title, stronger theorem about modular forms, many small improvements