Bergman 空间上解析钩子算子

对于固定的单位圆上的解析函数g，我们考虑由g诱导的解析钩子算子，其形式定义为 $T_gf(z)=\int_0^zf(\zeta)g'(\zeta)d\zeta$、$S_gf(z)=\int_0^zf'(\zeta)g(\zeta)d\zeta$ 以及 $M_gf(z)=g(z)f(z)$。N字母g-词是形如 $L=L_1\cdots L_N$ 的算子，其中每个 $L_j$ 均为 $M_g$、$S_g$ 或 $T_g$。最近的文献中，A. Aleman 等作者指出，理解g-词在经典Hardy空间与Bergman空间上的有界性是一个具有挑战性的问题，因其可能涉及消项效应。本文的主要结果为加权Bergman空间 $A^p_{\omega^{p/2}}$ 上任意g-词的完整定量特征。具体而言，本文表明，任意N字母g-词若满足 $\#\{j:L_j=T_g\}=n\ge 1$，则其在 $A^p_{\omega^{p/2}}$ 上有界，当且仅当g满足“分数”Bloch型条件 $$\|g\|_{\mathcal{B}^s_\varphi}^s= \sup_{z\in\mathbb{D}}\frac{s|g(z)|^{s-1}|g'(z)|}{1+\varphi'(|z|)} <\infty,$$其中 $s=\frac{N}{n}$，且 $||L||_{A^p_{\omega^{p/2}}}\simeq ||g||_{\mathcal{B}^s_\varphi}^N$。平滑快速衰减权重类包含径向权重 \begin{equation*} \omega_n(z)=e^{-2\exp_{n}(g_{\alpha,c}(|z|))}, \quad\mbox{其中}\quad g_{\alpha,c}(r)=\tfrac{c}{(1-r^2)^{\alpha}}, \quad\mbox{对 $c,\alpha>0$,} \end{equation*} $\exp_0(x)=x$ 且 $\exp_n(x)=e^{\exp_{n-1}(x)}$，其中 $n\in\mathbb{N}$。因此该权重类包含随 $|z|\to 1^-$ 衰减至零的任意快速衰减权重。