Hardy 空间与加权 Bergman 空间上解析副乘积的单词

对于单位圆盘上固定的解析函数 g，我们考虑由 g 诱导的解析副乘积，其形式定义为 $T_gf(z)=\int_0^zf(\zeta)g'(\zeta)d\zeta$、 $S_gf(z)=\int_0^zf'(\zeta)g(\zeta)d\zeta$ 和 $M_gf(z)=g(z)f(z)$。我们关注由上述作用在圆盘上 Hardy 或标准加权 Bergman 空间的算子生成的代数 $\mathcal{A}_g$ 中算子的有界性研究。一般问题无疑极具挑战性，因为 $\mathcal{A}_g$ 中的算子是 $T_g,S_g,M_g$ 有限乘积（单词）的有限线性组合，其中可能涉及大量抵消有待理解。论文 "Composition of analytic paraproducts, J. Math. Pures Appl. 158 (2022) 293--319" 的结果表明，$\mathcal{A}_g$ 中相当大子类算子的有界性可刻画为下列条件之一：对某个整数 $n>0$，$g\in H^\infty$，或 $g^n$ 属于 $BMOA$ 或 Bloch 空间。然而，也证明了存在许多算子，甚至是 $\mathcal{A}_g$ 中的单个单词，其有界性无法用这些条件描述。本文在此方向上取得显著进展。我们的主要结果用符号 $g$ 的“分数幂”（仅依赖于给定单词中字母 $T_g,S_g,M_g$ 各自出现次数）对任意单词在 $\mathcal{A}_g$ 中的有界性给出了完整的定量刻画。