Bergman 空间上的一种新型 Carleson 测度与积分算子

设 $n$ 为正整数，$\mathbf{g}=(g_0,g_1,\cdots,g_{n-1})$，其中 $g_k\in H(\mathbb{D})$，$k=0,1,\cdots,n-1$。设 $I_{\mathbf{g}}^{(n)}$ 为作用于 $H(\mathbb{C})$ 上的广义Volterra型算子，其表示为 $$I_{\mathbf{g}}^{(n)}f=I^n\left(fg_0+f'g_1+\cdots+f^{(n-1)}g_{n-1}\right),$$ 其中 $I$ 为积分算子 $$(If)(z)=\int_0^zf(w)dw,$$，而 $I^n$ 为 $I$ 的 $n$ 次迭代。该算子是 Chalmoukis 在文献 \cite{Cn} 中引入算子的推广。在本文中，我们研究算子 $I_{\mathbf{g}}^{(n)}$ 在Bergman空间到另一个空间中的有界性和紧致性。作为这些特征化结果的一个结果，我们获得了关于某些线性微分方程在Bergman空间中是否存在解的条件。此外，我们研究以下广义加权复合算子之和的有界性、紧致性和希尔伯特-史迪茨性：设 $\mathbf{u}=(u_0,u_1,\cdots,u_n)$，其中 $u_k\in H(\mathbb{D})$，$0\leq k\leq n$，且 $\varphi$ 为 $\mathbb{D}$ 的解析自映射。广义加权复合算子和定义为 $$L_{\mathbf{u},\varphi}^{(n)}=\sum_{k=0}^nW_{u_k,\varphi}^{(k)},$$其中 $$W_{u_k,\varphi}^{(k)}f=u_k\cdot f^{(k)}\circ\varphi.$$ 我们的研究方法涉及对经典Bergman空间上一种新型Sobolev-Carleson测度的研究，这种测度出现在第一主定理 \ref{Theorem1.1} 和 \ref{Theorem1.2} 中。