Watson变换与三元二次型表示的推广

设 $L$ 为正定（非经典）三元 $\z$-格，设 $p$ 为素数，使得 $L_p$ 的一个 $\frac 12\z_p$-模分量非零各向同性，且 $4\cdot dL$ 不被 $p$ 整除。对非负整数 $m$，令 $\mathcal G_{L,p}(m)$ 为二次空间 $L^{p^m}\otimes \q$ 上判别式为 $p^m\cdot dL$ 的族，使得对族中每个格 $T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$T_p$ 的一个 $\frac 12\z_p$-模分量非零各向同性，且对任意异于 $p$ 的素数 $q$，$T_q$ 等距于 $(L^{p^m})_q$。令 $r(n,M)$ 为整数 $n$ 被 $\z$-格 $M$ 表示的数。本文证明：若 $m \le 2$ 且 $n$ 仅当 $m=2$ 时被 $p$ 整除，则对任意 $T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$r(n,T)$ 可写为 $r(pn,S_i)$ 与 $r(p^3n,S_i)$ 的线性组合，其中 $S_i \in \mathcal G_{L,p}(m+1)$，在某些特殊情形下带有一额外项。我们给出了该额外项何时必要的简单判据，并显式计算了此额外项。我们还给出了一个递推关系，对任意整数 $m$，利用 $\mathcal G_{L,p}(m+1)$ 中格对某些整数的表示数来计算任意 $T \in \mathcal G_{L,p}(m)$ 的 $r(n,T)$。