权 13 的 Siegel 模形式与 Leech 格

对于 $g=8,12,16$ 和 $24$，在 ${\rm Leech}$ 格上存在一个非零交错 $g$ 重线性形式，除标量因子外唯一，且在 ${\rm Leech}$ 的正交群下不变。由这些交错形式构建的调和 Siegel theta 级数是 ${\rm Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ 的权 $13$ Siegel 模尖形式。我们证明它们是非零特征形式，确定了其一个 Fourier 系数，并给出了其标准 ${\rm L}$-函数的信息。这些形式令人感兴趣，因为根据作者最近的工作，它们是对于任意 $n\geq 1$ 的 ${\rm Sp}_{2n}(\mathbb{Z})$ 仅有的非零权 $13$ Siegel 模形式。