关于 $\mathbb R^d$ 中分支随机游动的首达时

我们研究 $d\geq 1$ 维空间 ${\mathbb R}^d$ 中离散时间分支随机游动的首达时。其中，粒子的谱系遵循超临界 Galton-Watson 过程。我们给出了在存活条件下，到达距离原点 $x$ 处、半径为一的球体的首达时的渐近行为。我们明确给出了作为 $x$ 的函数的线性主导项和对数修正项。对于一般的跳跃分布，渐近结果精确到 $o_{\mathbb P}(\log x)$ 阶；对于球对称跳跃，精确到 $O_{\mathbb P}(\log\log x)$ 阶。这两个结果的一个关键要素是首达时的紧性。我们还讨论了将首达时分析推广到一个修正的分支随机游走模型，该模型已被证明能成功捕捉聚合物网络中的最短路径统计。