关于反应扩散方程数值解的误差控制

我们针对反应扩散方程 $-\Delta u+\sigma u= f$ 在 $\Omega$ 中且任意 $\sigma={\mathrm{const}}\ge 0$ 的近似解，给出了保证的、鲁棒的后验误差界。由于其某一特定性质，我们亦称我们的误差界为一致的。该性质假定：就网格尺寸 $h$ 而言，其精度阶数与相应的、在阶数上不可改进的先验界相同；并假定上述阶数相等性由未经平衡处理的检验通量所保证。对于任意 $\sigma\in [0,\sigma_*]$，本文新的一般误差界右端除通常的扩散项外，还包含带因子 $1/\sqrt{\sigma_*}$ 的残差 $L_2$ 范数，其中 $\sigma_*$ 为某一临界值。对于有限元方法求解，若 $\partial \Omega$ 足够光滑且有限元空间至少具有一阶精度，则估计为 $\sigma_*\ge ch^{-2},\,\,c={\mathrm{const}}$。一般而言，在后验界推导中，一致性通过充分计入 $L_2$ 与 $H^1$ 误差范数阶数之差来实现，这可通过相应引入 $\sigma_*$ 的多种方式进行。所得一致后验误差界有两大优点值得关注：更高的精度，以及可避免在通量恢复过程中使用平衡处理，这可极大简化这些过程并使其更具通用性。获取一致后验界的方法已由作者在 [arXiv:1702.00433v1 [math.NA], 2017年2月1日] 与 [$Doklady Mathematics$, ${\mathbf{96}}$ (1), 2017, 380-383] 中简要阐述。