二阶 PDE 在无界域中的有限元离散的后验误差估计

我们考虑在无界域中设定的二阶 PDE 问题，通过在有限网格上的拉格朗日有限元进行离散化，从而在离散化中引入人工边界。具体而言，我们考虑反应扩散方程以及在波导中带有完美匹配层的 Helmholtz 问题。通常处理此类问题的做法是首先考虑因引入人工边界而产生的建模误差，并使用标准的后验技术估计剩余的离散化误差。然而，这种方法的一个不足是，通常难以获得对建模误差的尖锐界限。在本工作中，我们提出了一种新技术，允许通过后验误差估计器控制整个误差。具体而言，我们提出一种略微修改以处理截断边界的通量均衡估计器。对于反应扩散方程，我们获得了完全可计算的保证误差界，估计器在局部上有效且对多项式次数稳健，前提是与截断边界相接的单元不过度细化。这一条件可视为网格形状规则性概念的延伸，且不防止设计高效自适应算法。对于 Helmholtz 问题，正如通常情况一样，这些声明在网格足够细化时仍然有效。我们的理论结果通过数值示例完成，这些示例表明该估计器适合驱动最优自适应网格细化。