局部守恒方法的后验误差估计与自适应：低成本实现与评估、多面体网格、迭代线性化与代数求解器及其在复杂多孔介质流中的应用
数值分析
2025-05-30 v1 数值分析
摘要
后验估计给出了偏微分方程未知解与其数值近似之间误差的界。我们在此提出了一种基于 H1 保形势和 H(div) 保形平衡通量重构的方法，其中误差界是保证的且完全可计算的。我们考虑任意最低阶的有限体积型局部守恒方法，并处理一般多面体网格。我们从一个纯扩散问题开始，首先探讨离散误差。然后逐步过渡到更复杂的模型问题，直至多孔介质中的复杂多相多组分流，并同时考虑非线性问题迭代线性化以及线性代数方程组代数求解中产生的误差。我们专注于估计的实现与评估的简便性。特别是，我们估计的评估是显式且低成本的，因为它仅包含一些局部矩阵-向量乘法。在这里，在每个网格单元上，矩阵要么直接继承自给定的数值方法，要么很容易由单元几何构造，而向量则是给定单元上通量和势近似的代数未知量。我们的方法导出了一种易于实现且快速运行的自适应算法，具有保证的整体精度、非线性与线性求解器的自适应停止准则，以及空间和时间网格的自适应加密与稀疏化。在理论阐述的推进过程中，二维和三维空间中的学术基准以及实际问题的数值实验展示了所推导方法的性能。本论述在很大程度上是自洽的，展开了所有细节并回顾了所有必要的基本概念。
引用
@article{arxiv.2505.23245,
title = {A posteriori error estimates and adaptivity for locally conservative methods. Inexpensive implementation and evaluation, polytopal meshes, iterative linearization and algebraic solvers, and applications to complex porous media flows},
author = {Martin Vohralík and Soleiman Yousef},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.23245},
year = {2025}
}